\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n�13}
\lfoot{Probabilit�s}

\begin{center}
\fbox{ \Large Probabilit� (Niveau 3A - Objectif EMLyon-EDHEC) }
\end{center}
\vspace{30pt}

On lance ind\'efiniment une pi\`ece donnant \textit{``Pile''} avec la
probabilit\'e $p$ et \textit{``Face''} avec la probabilit\'e $q=1-p$. On
suppose que $p\in]0,1[$ et on admet que les lancers sont mutuellement
ind\'ependants.

Pour tout entier naturel $k$, sup\'erieur ou \'egal \`a $2$, on dit que le $%
k^{i\grave{e}me}$ lancer est un changement s'il am\`ene un r\'esultat
diff\'erent de celui du $(k-1)^{i\grave{e}me}$ lancer.

On note $P_k$ (resp. $F_k$) l'\'ev\'enement~: \textit{``on obtient Pile
(resp. Face) au $k^{i\grave{e}me}$ lancer''}.

Pour ne pas surcharger l'\'ecriture on \'ecrira, par exemple, $P_1F_2$ \`a
la place de $P_1\cap F_2$.

Pour tout entier naturel $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a $2$, on note $X_n$ la
variable al\'eatoire \'egale au nombre de changements survenus durant les $n$
premiers lancers.

\paragraph{Partie 1~: \'etude de quelques exemples.}

\begin{enumerate}
\item  Donner la loi de $X_{2}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item  Donner la loi de $X_{3}$.

\item  V\'{e}rifier que $E(X_{3})=4pq$ et que $V(X_{3})=2pq(3-8pq)$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item  Trouver la loi de $X_{4}$.

\item  Calculer $E(X_{4})$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\paragraph{Partie 2~: \'etude du cas $p\neq q$.}

Dans cette partie, $n\ge 2$ 
% d\'esigne un entier naturel sup\'erieur ou \'egal \`a $2$.

\begin{enumerate}
\item  Exprimer $P(X_{n}=0)$ en fonction de $p$, $q$ et $n$.

\item  En d\'{e}composant l'\'{e}v\'{e}nement $(X_{n}=1)$ en une r\'{e}union
d'\'{e}v\'{e}nements incompatibles, montrer que \newline
$\displaystyle P(X_{n}=1)=\frac{2pq}{q-p}\left( q^{n-1}-p^{n-1}\right) $.

\item  En distinguant les cas $n$ pair et $n$ impair, exprimer $P(X_{n}=n-1)$
en fonction de $p$ et $q$.

\item  Retrouver, gr\^{a}ce aux trois questions pr\'{e}c\'{e}dentes, les
lois de $X_{3}$ et $X_{4}$.

\item  Pour tout entier naturel $k$, sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $2$, on
note $Z_{k}$ la variable al\'{e}atoire qui vaut $1$ si le $k^{i\grave{e}me}$
lancer est un changement et $0$ sinon ($Z_{k}$ est donc une variable de
Bernouilli).

\'{E}crire $X_{n}$ \`{a} l'aide de certaines des variables $Z_{k}$ et en
d\'{e}duire $E(X_{n})$.
\end{enumerate}

\paragraph{Partie 3~: \'etude du cas $p=q$.}

\begin{enumerate}
\item  V\'{e}rifier, en utilisant les r\'{e}sultats de la partie 1, que $%
X_{3}$ et $X_{4}$ suivent chacune une loi bin\^{o}miale.

\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal
\`{a} $2$, $X_{n}$ suit une loi bin\^{o}miale dont on donnera les
param\`{e}tres.
\end{enumerate}

\end{document}